Design of Experiments
（DOE）
實驗設計
1. 定義和介紹
實驗設計(Design of Experiments)或設計實驗(Designed Experiments)是一系列試驗及分析方法集,通過有目的地改變一個系統的輸入來觀察輸出的改變情況。圖1-1 示出一個系統示意圖。圖1-1 中的系統既可以看作是一個產品開發過程，也可以看作是一個生產過程。對于一個生產過程, 一般它是由一些機器、操作方法和操作人員所組成的,把一種輸入原材料轉變(加工)成某種輸出產品。這種輸出產品具有一些可以觀察的質量特性,也可叫響應(例如,產量、強度、硬度等)。一些過程參數（X1,X2,?,Xp）是可控的, 例如進給速度、淬火溫度等; 而另一些（Z1,Z2,?,Zq）是不可控的, 它們有時被稱為噪聲參數,例如環境溫度、濕度等。
實驗設計的目的可能包括:
(1)確定哪些參數對響應的影響zui大;
(2)確定應把有影響的參數設定在什么水平，以使響應達到或盡可能靠近希望值(On target)；
(3)確定應把有影響的參數設定在什么水平，以使響應的分散度(或方差)盡可能減小。
(4)確定應把有影響的參數設定在什么水平，以使不可控參數（噪聲參數）對響應的影響盡可能減小。
因此, 在制造過程的開發以及解決過程中出現的問題中都可以應用實驗設計,以改善過程的性能,或者使過程對于外部波動源(干涉)不那么敏感，即得到一個“穩健”(Robust)的過程，同時還可節省時間和降低成本。所以,實驗設計對于開發和改善制造過程,提高產品質量是一個非常重要的工程工具。
除此之處,實驗設計還可以在新產品開發或現有產品改進中起到很大作用:
(1)評價和比較不同設計方案;
(2)評價代用材料;
(3)確定影響性能的關鍵產品設計參數(KPC)。在這些領域應用實驗設計可以改善產品的制造工藝性、增強服役性能和可靠性、降低產品成本和縮短產品開發周期。
應該指出,實驗設計包括的內容很多,有關的著作很厚,例如, Design and analysis of experiments (Douglas C.Montgomery)有538 頁,本課程主要介紹在工業上得到較廣泛應用的析因實驗法、部分析因實驗法(包括所謂正交實驗法)——Factorial experiments, Fractional Factorial, and Taguchi Method。所以,在本課程中講的實際上是狹義的實驗設計,即析因實驗法和部分析因實驗法。
2. 問題的提出——用實驗的方法改進質量
在工程實踐中經常碰到如下問題：
(1)影響產品和產品制造過程性能的可能因素往往很多,如何確定到底哪些因素是zui有影響性的?
(2)如何調整這些因素才能獲得*效果?
對于上述問題，工程計算和計算機模擬可以提供很有價值的結果,可以告訴為獲得*效果一些影響參數應取的數值以及一些影響參數與響應之間的基本關系。但是,實際的產品及其制造過程都是很復雜的,為能進行上述計算和模擬往往需要進行必要的簡化,這一般都會引入一定的分析誤差。在這種情況下,分析結果一般又都需要得到專門設計的實驗的驗證。應該指出,進行上
述計算和模擬的前提是要能找到描述影響參數與響應之間關系的工程方程(數學描述),否則便無法進行上述計算和模擬。即使在這種情況下,也可以應
用實驗的方法找到影響參數與響應之間的關系,達到改進質量的目的。
所以可以說,為獲得高質量的產品,進行必要的實驗是*的。而進行實驗是需要付出代價的,往往代價較高，需要花費較多的人力、物力和時間。所以,如何合理設計實驗,以便能以zui小的代價獲得盡可能多、而且可靠的有關產品及其制造過程的知識,從而達到改進質量的目的,是很重要的,也是很有學問的。
下面以一個實例來引出如何合理設計實驗的問題。
實例: 制造彈簧
制造彈簧有一個工序是淬火,而淬火過程會使一些彈簧中出現裂紋,如何解決這個質量問題?
這個問題的實質是要提高經淬火后不含裂紋彈簧的比例。影響這種響應的輸入因素包括哪些參數呢?根據以往的經驗,有意義的輸入因素包括彈簧被加熱的溫度(T);彈簧鋼的含碳量(C);淬火用油的溫度(O)。
解決這個問題,就是要找到參數T、C 和O 的*值,以使不含裂紋的彈簧比例(響應)達到zui高。這個問題的zui終解決要靠實驗。但是,在開始作實驗以前,能知道有意義的影響參數的大致數值或范圍。如果存在工程方程描述影響參數與響應之間的關系,可以用計算機模擬來確定這種數值或范圍。但如果沒有這種工程方程,便無法利用計算機模擬,這時可以靠找前人總結的有關工程經驗來確定這種數值或范圍。教科書、專著、論文、工程手冊等文獻中便包含有很多這種工程經驗。從有關的工程手冊中查到,參數T、C 和O 應該取如下數值:
T＝ 1525°F
C＝ 0.6%
O＝ 95°F
但是，它們是*值嗎?怎么回答這個問題?只能用實驗來回答這個問題。為什么從工程手冊中查到的經驗數據不一定是*值呢?這是因為這些經驗數據都在一定條件下得出的,而你當前的問題未必與那些條件*相符。
為了用實驗回答上述問題,就必須設計一個合適的實驗方法。而這個設計是否合理,直接關系到能夠從這種實驗中得到的知識有多少，以及需要花費的人力、物力和時間有多少。實驗中的參數選擇基于從工程手冊中查到的經驗數據,在此基礎之上,把數據增大一些及減小一些,看有什么情況發生.
3. 一種低效率的實驗設計：一次只改變一個參數,而其他參數都保持不變(One factor at a time)
例如,僅改變彈簧溫度T, 從1450°F 變到1600°F, 而彈簧鋼含碳量C 和油溫O 保持不變——C=0.5%,O=70°F 。為考慮未知的不可控輸入因素的影響,在每個狀態下各作4 次重復試驗。共作了8 次試驗。圖3-1 示出實驗結果?？梢钥闯?1600°F 是個較好的彈簧溫度值,其不含裂紋彈簧所占比例比1450℃時高5%。但是,要注意得到這種結果的條件——含碳量C=0.5%,油溫O=70°F 。
如果有人要問,在C=0.7%或O=120°F 的情況下把彈簧溫度從1450°F 變到1600°F 能夠使不含裂紋彈簧的比例提高同樣的程度嗎?如何回答這個問題?誠實的回答應是：不知道。為了以同樣的方法研究不同含碳量的影響,也需要另外再作8 次試驗(在每個含碳量水平各作4 次重復性試驗)。作完這些試驗以后,我們僅可知道對于特定的鋼溫度和油溫組合,當改變含碳量時系統的響應(不含裂紋彈簧所占比例)是如何可改變的。為檢驗油溫的作用,又需要再作8 次試驗,但也會碰到同樣的困難。
對于上述工程問題,采用“一次只改變一個參數”的方法進行實驗,需要作24 次試驗。作完這些試驗以后,我們所能得到的信息,也只是每個變量在其他兩個變量取一定的組合的情況下的效應(作用)。并且我們對各個變量之間的相互作用一點兒都不了解。為了提高實驗的有效性,有人對實驗設計方法進行了研究。在這一領域中的一個人物Ronald A.Fisher, 是個英國人。他在本世紀20 年代,提出
了“同時改變所有參數”的實驗設計思想,這種方法被稱為析因實驗或析因設計(Factorial Design)。
應用析因實驗法對于上述彈簧淬火實驗進行設計(三個參數,每個參數取兩個水平),只需進行8 次試驗。而且，相對于“一次只改變一個參數”的實驗方法，利用這8 次試驗可以得到更多的信息。
4. 析因實驗設計（Factorial Design）
現在,按Fisher“同時改變所有參數”的想法來設計彈簧淬火實驗。圖4-1示出實驗設計方案及實驗的響應(結果)。其中,表中的每一行對應于一個試驗;每一列對應一個參數的取值，一共有三個參數T(彈簧加熱溫度)、C(含碳量)和O(油溫),每個參數各取兩個水平。為使實驗能反映每個參數的每個水平的所有組合情況,共需作8 次試驗,即23。每個參數取兩個水平的析因實驗設計可以用一個立方體來表示,其每個尺度代表一個參數的變化軸線,其每個頂點代表一個試驗,試驗條件由其座標表示,試驗結果(響應)寫在圓環之中——每個頂點與表中的一行相對應。
4-1 參數的主效應(Main effect)
參數的主效應：一個參數的水平改變時所引起的響應變化。
4-1-1 彈簧溫度T 的主效應
參見圖 4-2, 當彈簧溫度T 從1450°F 變到1600°F 時,響應共有4 種變化情況,每種變化情況分別與另外兩個參數(即,含碳量C 和油溫O)的特定組合情況相對應。
彈簧溫度 T 的主效應等于在上述4 種情況中響應增量的平均值。通過分析圖4-2 中的公式符號,可以看出,T 的主效應也等于當T=1600°F (高水平)時的各個響應的平均值
Th= （79+ 75+ 90+87）/4 （4-1）
減去當 T=1450°F (低水平)時的各個響應的平均值
Tl=（67+ 61+ 59+ 52）/4 （4-2）
即,T 的主效應
Tm= Th- Tl＝（79+75+90+87-67-61-59-52）/4 （4-3）
由此可以抽象出, 一個參數X 的主效應Xm,等于當它取高水平時的所有響應的平均值Xh 減去當它取低水平時的所有響應的平均值Xl，即
Xm= Xh- Xl （4-4）
下面是計算結果:
Cm= Ch- Cl=（61+ 52+ 87+ 75）/4- （67+ 59+ 90+ 79）/4== 68.75- 73.75= -5.0 （4-5）
Om= Oh- Ol=（59+ 52+ 87+ 90）/4- （67+ 61+ 75+ 79）/4== 72- 70.5= +1.5 （4-6）
4-2 相互作用效應(Interaction effects)、
首先研究一下:(1)當油溫O=70°F 時,彈簧溫度T 的效應;(2)當油溫O=120°F 時,彈簧溫度T 的效應。參見圖4-4 和圖4-5。
可以看出,當油溫O 不同時,彈簧溫度T 的效應(響應增量的均值)是不同的,即T 的效應取決于油溫。
因此,兩個參數A 和B 的相互作用是指,A 的作用取決于B 的水平,同樣也可以、說,B 的取決于A 的水平。
在上述彈簧淬火例子中,彈簧溫度T 與油溫O 的相互作用的計算方法如下：
(1)當O=120°F, T 的效應
Xm= Xh- Xl （4-4）