使用Moku:Pro同時實現窄線寬激光系統的鎖定和表征應用案例

利用Moku:Pro 的多儀器并行模式，用戶可以使用激光鎖頻/穩頻器將激光鎖定到光學腔，無需額外的測試設備或布線又能同時使用頻率響應分析儀（FRA）測量 Bode 圖。通過向誤差信號施加干擾并使用 FRA 測量傳遞函數，可以檢查閉環增益、相位裕度和環路干擾抑制性能。用戶可以在頻率響應分析儀和激光鎖頻/穩頻器之間快速切換，方便靈活地調整 PID 參數同時并優化環路性能，從而確保穩定性并最大限度地抑制干擾。

在分子和原子物理等高精度測量應用中，具有動態頻率噪聲抑制的激光系統因其良好的長期穩定性而得到廣泛應用。要實現穩定的激光鎖定，需要高度優化的反饋控制，這尤其涉及到包括測量： 1) 控制環路的傳遞函數，確保低頻時有足夠的增益，同時保持較低的單位增益頻率，以維持環路的穩定性；2) 干擾抑制，即通過測量干擾耦合到激光器中并且穿越整個系統后的傳遞函數評估系統抗干擾性能。

傳遞函數通常可以繪制成Bode圖，表征在設定頻率范圍內的環路增益和相移。測量閉環系統干擾抑制的主要挑戰是在不中斷反饋控制的情況下注入噪聲。通常，系統設置非常復雜，不僅需要噪聲源作為注入干擾，又需要網絡分析儀來測量響應。

在這篇應用說明中，我們將演示如何使用 Moku:Pro 的多儀器并行模式來表征激光穩定系統的開環和閉環性能。通過 Moku:Pro，我們可以將激光鎖定在腔體上，注入干擾，并同時測量開環、閉環和擾動傳遞函數。此外，還可以實時調整 PID 參數來優化環路配置，以確保穩定性、增強干擾抑制和抑制頻率噪聲。Moku:Pro 為激光穩定和特性分析提供了緊湊高效的解決方案。

反饋控制基礎知識

為了更好地理解激光鎖定系統，我們首先需要簡要回顧一下通用反饋控制原理。通過分析和推導本節中的干擾抑制方程，我們可以確定在何處注入干擾以及在 Pound-Drever-Hall (PDH) 鎖定過程中探測環路響應的位置。

一般來說，我們可以將控制系統分為兩種類型，即開環控制系統和閉環控制系統。主要區別在于前者的控制方式與系統的輸出無關，而后者的控制方式依賴于輸出[1]。通用反饋控制環路的基本概念是利用當前工作點與參考點之間的差值作為誤差信號，將系統的輸出維持在一個恒定的設定點上運行[1]。用于激光穩定的 PDH 鎖定技術利用腔反射產生誤差信號，并反饋給激光器以保持光源在特定頻率下發射激光，同時將激光頻率噪聲降至zui 低。這被視為閉環控制 [2]。基本的反饋控制系統通常由三個部分組成，如圖 1 所示，即被控對象（需要控制的對象）、傳感器（測量被控對象的輸出）和控制器（產生反饋輸入）。

圖 1：典型反饋控制系統框圖。它由三個主要部分組成：被控對象 (P)、測量特定信號的傳感器 (S) 以及為被控對象生成輸入的執行器或控制器 (C)。

我們可以利用拉普拉斯變換推導出控制系統的傳遞函數，對于給定的時域信號 f(t)，其定義為 F(s)。

對于圖 1 所示的系統，三個組件都有自己的傳遞函數，分別用P(s)、S(s) 和 C(s)表示為被控對象、傳感器和控制器。 為了簡化下面的推導，引入了一個額外的內部信號并標記為U(s)。 輸入信號為 X(s)，我們可以計算出經過這樣的系統后的輸出信號：

根據公式 (2) 和 (3)，反饋系統（H(s)）的傳遞函數可以通過輸出拉普拉斯變換與輸入的比值求得：

其中 C(s)P(s)S(s) 是系統的開環增益（有時也稱為返回比），方程 (4) 稱為閉環增益。 到目前為止的分析主要集中在信號的變換上，而在實際情況中，噪聲的抑制更令人感興趣。 噪聲可以從環路內的任何地方引入，但這里我們考慮從被控對象引入的噪聲（其他噪聲源也可以通過相同的步驟分析）。 當引入噪聲 (N(s))進行分析, 系統輸出被修正為:

對于具有較大控制增益 (C(s) -> ∞)的系統, 系統的輸出接近輸入, 也稱為單位增益。由外部干擾引入被控對象的噪音也被大幅抑制至零點。這類干擾的傳遞函數也被稱為干擾抑制(或靈敏度函數), 這表征了一個控制系統應對被控對象輸出出現干擾的靈敏度。和開環傳遞函數相似, 干擾抑制也與頻率相關。當干擾抑制的幅度超過單位增益, 這類噪聲抑制變得無效, 相應的頻率因此被稱為單位增益頻率。更重要的是, 當開環增益的相位達到180度 (這是 1 + C(s)P(s)S(s) = 0 時的閉環極點), 噪聲將被放大, 導致系統不穩定, 尤其是當 C(s)P(s)S(s) 接近 -1 時。這個轉換點是反饋系統的另一個關鍵參數, 稱為相位裕度。閉環控制的帶寬受單位增益頻率和相位裕度的限制, 如果相位裕度出現在低于單位增益頻率的頻率上, 系統將無法穩定。

激光反饋控制

下面的激光穩頻系統相當于上一章節討論的反饋控制回路。在這篇應用筆記中, 激光通過使用PDH鎖頻方法的反饋控制回路被鎖定到一個光學腔上。圖 2 說明了激光穩頻過程的反饋回路, 由外部伺服控制與內部 PZT 觸動器相結合形成。

圖 2：概念框圖顯示將激光波長鎖定在腔諧振上的反饋控制回路。PID 控制器控制激光器內部的 PZT 傳感器。

這里穩頻系統可以理解為激光器是被控對象，其頻率是系統輸出(Y(s))。系統試圖穩定的設定點是光學參考腔的諧振頻率。輸出在光學鑒頻器上與設定點做比較。一個傳感器測量這些信號的差值(S(s)), 其中包括光信號和光電信號, 生成的誤差信號被控制器進一步處理。一般控制器也被稱為伺服控制(C(s))。它針對被控對象的特性，提供控制信號以減少位置誤差并優化驅動過程中的過沖。這里使用的激光器(Plant 被控對象)一般都是可調諧激光器, 它的頻率能夠根據控制信號通過內置的 PZT 觸動器來調制。所以, 控制信號被輸入至激光器后生成最終的輸出波長。最后這個輸出信號被反饋回去并刷新反饋信號。

基于觸動器的響應, 需要仔細設定控制器的響應和 PID 設置來保證穩定的反饋和足夠的噪聲抑制。為了更好地理解, 可以通過測量干擾抑制來表征整個系統的閉環控制響應。我們可以通過在 Vin 處注入掃頻信號和在 Vout 處得到輸出信號。推導出的相對應頻率響應為:

其中 C(s)、P(s) 和 S(s) 表示控制器(伺服控制)、被控對象(PZT 觸動器)和傳感器的作用。公式6中的表達式提供干擾抑制, 公式7表示互補靈敏度函數, 公式8是控制系統的開環增益。

實驗設置

在這個實驗里, Moku:Pro不僅用作鎖相放大器, 也表征了系統的閉環控制響應。圖3顯示了完整的系統搭建, 圖4演示了多儀器并行模式下的儀器配置。為了達到我們的目的, 我們在4個獨立的插槽上部署了4個儀器功能: 分別是激光鎖頻/穩頻、鎖相放大器、PID控制器和頻率響應分析儀。

圖 3：鑒定激光穩定系統回路干擾抑制的實驗裝置。使用頻率響應分析儀直接測量和生成干擾抑制，同時使用Moku:Pro 的激光鎖頻/穩頻器將激光鎖定到外部參考腔。通過將PID 控制器比例增益設置為 0 dB 實現的注入Injection或加法器Adder。

圖 4：多儀器并行模式下的 Moku:Pro 配置。請注意，由于四個插槽wan 全相互獨立，因此添加到插槽中的儀器功能順序并不重要。

干擾在誤差信號解調之后但在傳輸到控制器之前被注入。所以我們將激光鎖頻過程分成兩個單獨的過程: 鎖相放大器 (LIA) 通過 Out1 生成調制信號給電光調制器 (EOM), 同時來解調誤差信號; 激光鎖頻/穩頻 (LLB) 跳過解調過程并只提供伺服控制或者控制信號傳輸回激光器。Out2, 來自于 LLB 里的快速PID控制器, 隨后被直接連接到激光器的壓電陶瓷來精確地調控激光器的頻率, Out3 被接到激光器的溫度控制。

同時我們用頻響分析儀 (FRA) 來測量閉環系統的干擾抑制, 這里它生成一個正弦掃頻偏移信號并使用PID控制器作為加法器來注入 PID 控制環路信號 (In 1)。為了實現這個求和效果, 我們通過設置一個輸入矩陣如

作為加法器來配置 PID 控制器并且比例增益設置為0dB。加法器的輸出被分成兩路, 一路提供誤差信號給激光鎖頻/穩頻, 另一路被接到  FRA的通道 B來測量閉環控制的頻率響應。FRA的通道 A則在注入正弦波之前記錄 PID 控制環路的頻率噪聲。

激光鎖頻/穩頻器提供伺服控制。通過三角波掃描來監測PDH誤差信號, 然后我們調節慢速 PID 偏置來讓光學參考腔的諧振頻率接近掃描范圍的中點。然后在系統穩頻前打開積分器飽和來避免過度補償。我們再選擇載波的過零點作為鎖頻點并使用“Lock Assist”功能來進行鎖頻, 從而啟動快速 PID 控制。最后, 我們禁用積分器飽和來以啟用全部的積分效應以在低頻段獲得更多增益。您可以在此處找到激光鎖頻/穩頻的詳細說明。

在我們成功鎖定激光器頻率到光學腔上后, 我們切換儀器到頻率響應分析儀, 在那里我們在兩通道上用一個足夠小的輸出信號(5 mVpp)配置成(In ÷ Out)的測量方式。通過在感興趣的頻率范圍上進行掃頻源的掃頻, 我們生成了與公式 6-8 相關的傳遞函數。

實驗結果

觀察圖5 的測量結果。

 圖 5：測量的傳遞函數，顯示整體閉環響應（紅色）、閉環干擾抑制（藍色）和計算出的激光鎖定系統的開環增益（橙色）。干擾抑制的單增益頻率約為 24 kHz。

紅色軌跡曲線顯示測得的互補靈敏度傳遞函數(公式7), 藍色軌跡曲線顯示了干擾抑制(公式6)。通過使用數學計算通道(ChA ÷ ChB )，我們能夠動態地計算開環控制的傳遞函數，如圖5里的橘色軌跡曲線。從藍色軌跡曲線(或者橘色軌跡曲線)我們能夠看到穩頻控制環路擁有高達 ～24kHz的單位增益頻率，同時相位裕度略大于90度。該系統的穩頻控制帶寬限制來自 PZT 的機械諧振頻率。我們能夠從這個圖觀察到有一個 ～63kHz的機械諧振頻率。所以，進一步調節系統到一個更高的增益可能會激發共振，這會導致在這個特殊頻率點上的正反饋并破壞系統的穩定性。

另外，我們能夠從開環控制響應(橘色軌跡曲線)觀察到低頻增益達到了60dB。這與藍色軌跡跡曲線中的 -60 dB 擾動抑制相對應，同時表明激光鎖頻/穩頻儀器能夠提供足夠的伺服控制增益來充分抑制激光頻率噪聲并維持穩定的鎖定。

結論

Moku:Pro基于現場可編程門陣列 (FPGA) 的靈活方法解決了傳統固定功能測試和測量硬件的許多缺點。基于FPGA 的架構提供了可以在儀器間動態切換的能力。它還提供了同時使用多個儀器功能的能力, 例如用 頻率響應分析儀表征激光鎖頻控制環路的傳遞函數時用 激光鎖頻/穩頻其維持一個穩定的鎖頻過程。多儀器并行模式使優化閉環控制配置的過程更加直接和高效。直觀的用戶界面極大地降低了實驗搭建的復雜性, 提供了更易于訪問和靈活的解決方案。

此外，雖然本應用筆記顯示了一個利用 PDH 鎖頻方案的示例, 但這種驗證控制環路響應的方法適用于其他鎖頻技術, 例如 DC 鎖頻、邊緣側鎖頻（fringe-side locking）和傾斜鎖定（tilt locking）, 這些技術在激光穩頻領域具有廣泛的實際應用。

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