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半導體材料中的載流子濃度直接決定著半導體的導電能力，因此要制造出符合要求的半導體器件，必須定量地研究載流子濃度的影響因素。

半導體中有空穴和電子兩種載流子，半導體中的電流是這兩種載流子定向移動形成的電流之和。

空穴濃度和電子濃度分別用  和  表示，單位為  或  ，實際常用  作單位。

一、有關電子與能級的基本概念

1.1 能級與能帶

能級：由量子物理，束縛態電子的能量是量子化的（一系列離散值），每一個能量值對應于一個能級(Energy Level)。

【注：從數學上講，束縛態電子能量量子化的根本原因在于在勢阱中的薛定諤方程（它給出了描述電子出現概率的波函數  與位置  ，時間  所滿足的微分關系）的正弦解具有周期性，從而電子的能量由正整數決定而取一系列離散值。】

能帶：當N個原子（阿伏加德羅常數數量級）集聚成晶體時，由于之間能量的相互影響，原本孤立的原子的能級會分裂為N個能級，這些間距很小的能級所形成的能量近似連續的區域稱為能帶（Energy Band）。如鈉晶體的3s能帶，3p能帶等。

禁帶，允帶：允許電子出現的能帶稱為允帶(Allowed/Permissible Band)。相應地，不存在可能的量子態（即電子不可能出現）的能量區域稱為禁帶(Forbidden Band)。

在允帶中，比較特殊的兩個是價帶和導帶。

價帶，導帶：0K時，晶體中最上面有電子存在的能帶稱為價帶(Valence Band)。價帶上面相鄰的空白能帶稱為導帶(Conduction Band)。

費米能級：0K時，能量高于  的能級沒有電子分布，而能量低于  的能級上每個量子態都有一個電子，這一能級  稱為費米能級。（顯然費米能級的位置與電子是否可能出現在該位置無關，即費米能級既可能在允帶中，也可能在禁帶中）

PS：按量子理論，電子在0K時是有能量的。因此把費米能級套在經典理論上會出現佯謬。例如：0K時，如果令  ，則在費米能級的電子具有量級為  的速度（費米速度），而按經典理論電子是靜止的；又如，如果令  （  為玻爾茲曼常量），則金屬有高達  的溫度（費米溫度），而實際溫度是0K！

禁帶寬度：導帶底與價帶頂之間的能量差稱為禁帶寬度  。 

1.2 從能帶角度看導體、絕緣體、半導體

導體：價帶中有電子且未被電子填滿的晶體是導體。當外加電場時，價帶電子被加速形成電流。

絕緣體：0K時，價帶被電子填滿，導帶空白，且禁帶較寬的晶體是絕緣體。一般地，升高溫度或外加電壓都難以使價帶電子獲得足夠的能量躍入導帶，因此絕緣體導電能力差。

半導體：0K時，價帶被電子填滿，導帶空白，且禁帶較窄的晶體是半導體。半導體在常溫（例如300K）時就有一定量電子在導帶中，溫度升高時，更多電子受激躍入導帶，導電能力明顯增強。

二、半導體載流子濃度與載流子能量的關系

[注：本節討論均在半導體無外加電壓（即熱平衡）狀態下進行]

載流子數量計算基本原理：載流子濃度=載流子總數的可能最大值  載流子出現概率

i.e. 載流子濃度=量子態密度  費米-狄拉克分布函數

2.1 量子態密度

單位體積，單位能量中載流子總數的最大值（即可能的量子態總數）稱為量子態密度。導帶量子態密度用  表示，價帶量子態密度用  表示。

量子態密度與載流子動能的平方根成正比。公式是：

在 中，導帶電子量子態密度 

價帶空穴量子態密度

解釋：①  為空穴或電子的有效質量（考慮晶格對載流子束縛作用的等效質量）。普朗克常數 

②設導帶中電子的能量為  ，將導帶底的能量  視作電子的勢能，那么  即為電子的動能。同理，價帶頂能量  與空穴能量的差值  即為價帶中空穴的動能。

2.2 費米-狄拉克分布

在一定溫度  下，能量為  的電子出現在某一量子態的概率為

相應地，能量為  的空穴出現在某一量子態（即某一量子態為空）的概率為  。

解釋：①  為該溫度下的費米能級。根據此式，費米能級也可以定義為：在一定溫度下，若能量為  的量子態被載流子占據的概率為1/2，則  為該溫度下的費米能級。

②玻爾茲曼常量  。用關系 可以容易地驗證這一數值。

有了量子態密度和費米-狄拉克分布的表達式，就可以通過對能量在整個能帶中積分，得出單位體積內電子的數目為  ，

空穴濃度為 。

(注：對于電子，當能量增大時，由于費米-狄拉克函數迅速趨于零，因此可將積分上限設定為+∞而不必使用導帶頂能量。空穴同理反之。)

三、半導體載流子濃度與半導體自身參數的關系

3.1 載流子濃度與能帶能量值Ec，Ev的關系

在第二節，我們得到了在無外加電壓（熱平衡）條件下，半導體載流子濃度與載流子能量之間的關系式。雖然載流子的能量是一個很難確定的值，但可以看到，我們對能量進行積分后，所得到的載流子濃度表達式就僅包含半導體自身參數（如價帶頂能量  ，導帶底能量  等等）和溫度了。因此，這一節我們首先要將載流子濃度的表達式計算出來。

在費米-狄拉克分布函數的玻爾茲曼近似（  ）條件下，可以積分計算出半導體的導帶電子熱平衡濃度為

說明：①  的下標0表示無外電壓的熱平衡態。

②  是與半導體材料和溫度有關的常數，稱為導帶有效狀態密度。  。

同理，半導體的價帶空穴熱平衡濃度為

3.2 載流子濃度與本征半導體參數的關系

上一節，我們雖然得出了載流子濃度不依賴于粒子能量的表達式，但依然依賴于導帶底、價帶頂的能量值Ec和Ev。本節將用更具有普遍意義的費米能級和本征半導體的參數代替Ec和Ev。

本征半導體：純凈的具有晶體結構的半導體。

本征半導體有兩個重要參數：本征載流子濃度，本征費米能級。

(1)本征載流子濃度即為本征半導體中的載流子濃度。由于本征半導體中所有價電子都形成了共價鍵，自由電子數=空穴數，故通常用電子數  來表示本征載流子濃度。是半導體材料（即使是已經摻雜了的半導體）的一個重要參數。

將  和  的表達式相乘，并考慮關系  ，可以得到

由上式可知：

①本征載流子濃度與材料，溫度和禁帶寬度有關，而與導帶、價帶、費米能級無關。

②熱平衡狀態下，電子濃度 和空穴濃度 的乘積為定值。

(2)本征半導體的費米能級稱為本征費米能級。我們可以根據本征半導體  ，得出本征費米能級在能帶中的具體位置。計算結果為

可見，本征費米能級大約位于禁帶中央。

我們把這個關系式“拆開"，得出半導體（無論本征與否）電子、空穴濃度與本征載流子濃度，本征費米能級的具體關系是

（注：這兩個公式的指數部分很好記，只需把上一節公式中的Ec，Ev對應地換成  即可）

3.3 載流子濃度與摻雜濃度的關系

設本征半導體中摻雜了濃度為  的提供電子的施主(Donor)雜質(如磷)，又摻雜了濃度為  的接受電子的受主(Acceptor)雜質(如硼)。設摻雜后電子、空穴濃度分別為 ，，由于本征半導體中電子濃度=空穴濃度，故有  ，又，聯立求解并舍去負根得

這一結果表明，在高摻雜狀態（本征濃度相對摻雜濃度可以忽略）下，直接  是一個很好的近似。

四、半導體中的電流——載流子的輸運

前三節，我們建立了半導體載流子濃度的表達式。本節將開始研究載流子的運動，也就是載流子輸運現象。載流子的輸運分為兩種基本形式：擴散運動，漂移運動。擴散運動由濃度梯度引起，漂移運動由電場引起。

4.1 漂移運動(Drift)

歐姆定律的微分形式給出漂移電流密度為

 ——遷移率

上式是空穴和電子的電流密度之和。由于電子的(-e)和電場力作用方向(-E)抵消，因此兩個電流用加號連接。

上式同時給出了電導率  （有些書上記為  ）的具體表達式。

4.2 擴散運動(Diffusion)

由于擴散電流是從高濃度往低濃度擴散，亦即同載流子濃度減小率成正比，因此擴散電流密度為

 ——擴散系數

總電流密度為

4.3 遷移率和擴散系數的關系——愛因斯坦關系

愛因斯坦關系：在溫度一定時，遷移率與擴散系數的比值為常數。

五、半導體中的過剩載流子

當出現溫升、光照等外施激勵時，半導體中就會產生非平衡過剩載流子。本節簡要敘述非平衡載流子的濃度變化。過剩載流子濃度記作  ，  ，這兩者近似相等（電中性條件）。

5.1 雙極輸運方程

由于電子和空穴之間存在吸引力（內建電場），因此它們將會以“電子-空穴對"的形式一起運動，這就是雙極輸運。

雙極輸運：空穴和電子以相同的遷移率（或擴散系數）一起漂移（或擴散）的現象稱為雙極輸運。

雙極輸運方程： 

①雙極擴散系數 ，雙極遷移系數 

②E：電場強度，包括外電場和內建電場（外電場是主要的）

③g，R：生成率，復合率。g可視為常數， 

由系數D'和μ'可知，這是一個變系數二階偏微分方程。

5.2 摻雜條件和小注入條件

p型半導體的摻雜條件： 

小注入條件： 

由這兩個條件，可將雙極輸運方程轉化為常系數微分方程。

5.3 電荷弛豫

t=0向電中性半導體注入一些正電荷（或負電荷），恢復電中性的過程。

這個問題在《工程電磁場》中已經出現過，方法是聯立電荷守恒方程  （J的四維散度等于0），歐姆定律  和庫侖定律  ，解得電荷密度的擴散方程為  。

5.4 準費米能級

過剩載流子產生后，電子/空穴對應的費米能級，求解過程和前面類似。

 ， 

右端代數式的記憶方法：先記n的。①永遠是e的負指數②系數的下標和e指數上第一項的下標對應（n_i對應E_Fi）。p的就把指數項的兩個能級顛倒。